Question

已知直线与x轴和 y 轴分别交与A，B 两点，另一直线经过点B和点C（6，－5）．

（1）求 A，B 两点的坐标；

（2）证明：△ABC 是直角三角形；

（3）在 x 轴上找一点 P，使△BCP 是以 BC 为底边的等腰三角形，求出 P 点坐标．

Answer

(1) A（-4，0），B（0，3）；(2)见解析;(3) P（，0）．

【解析】

（1）由直线解析式求出A与B坐标即可；
（2）由B与C的坐标确定出直线BC的斜率，由已知AB的斜率，得到两直线斜率乘积为-1，可得AB与BC垂直，即可得证；
（3）作出线段BC的垂直平分线，与x轴交于点P，与直线BC交于点Q，利用中点坐标公式求出Q的坐标，根据PQ与AB都与BC垂直，得到PQ与AB平行，即斜率相等，求出直线PQ解析式，进而求出P坐标．

【解析】
（1）对于直线y=x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=-4，
则A（-4，0），B（0，3）；
（2）由B（0，3），C（6，-5），得到直线BC斜率为=-，
∵直线AB斜率为，
∴直线AB与直线BC斜率乘积为-×=-1，
∴AB⊥BC，
则△ABC是直角三角形；
（3）如图所示，作出BC的垂直平分线PQ，与x轴交于点P，与直线BC交于点Q，连接BP，CP，
则△BCP是以BC为底边的等腰三角形，
∵PQ⊥BC，AB⊥PQ，
∴PQ∥AB，即直线PQ与直线AB斜率相同，即为，
∵B（0，3），C（6，-5），
∴线段BC中点Q坐标为（3，-1），
∴直线PQ解析式为y+1=（x-3），即y=x-，
令y=0，得到x=，
则点P（，0）．