Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，点F是AB的中点，点E是BC边上的点，DE＝AD＋BE，△DEF 的周长为l．

（1）求证：DF 平分∠ADE；

（2）若 FD＝FC，AB＝2，AD＝3，求l的值．

Answer

(1)见解析;(2)8.

【解析】

（2）延长BF交CB延长线于点H，先证△ADE≌△HCE得AD=HB、DF=HF，

AD+BE=HB+BE=HE，结合DE＝AD＋BE得∠FDE=∠H，，根据∠ADF=∠H即可得证；
（3）先证∠BCD=90°得出DE² =CE²+CD² =(3-BE)²+2² =(3+BE)²，据此求得BE的长，从而得出CE的长度，进而得出答案．

（1）延长BF交CB延长线于点H，

∵AD∥BC，

∴∠ADF=∠H，∠DAB=∠HBA，

∵F为AB的中点，

∴AF=BF，

∴△ADF≌△HBF，

∴AD=HB、DF=HF，

∴AD+BE=HB+BE=HE，

∵DE＝AD＋BE,∴DE=HE，

∴∠FDE=∠H，

又∵∠ADF=∠H，

∴∠FDE=∠ADF，

∴DF 平分∠ADE；

（2）∵AD∥BC，AD＝BC,

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD,

∵FD=HF、FD＝FC，

∴FD=HF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，∠H=∠HCF，

∵∠ADF=∠H，

∴∠ADF+∠FDC=∠HCF+∠FCD，即∠ADC=∠BCD，

∵AD∥BC, ∠ADC+∠BCD =180°，

∴∠BCD=90°，

∴DE² =CE²+CD² =(3-BE)²+2² =(3+BE)²，

解得：BE=,

∴DE=3+=,CE=3-=,

∴△DEF的周长l==8.