Question

已知抛物线分别是中的对边。

（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；

（2）设抛物线与轴的两个交点为，顶点为 ，已知的周长为，求抛物线的解析式；

（3）设直线与抛物线交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于点，若抛物线的对称轴为与的面积之比为，试判断三角形的形状，并证明你的结论。

Answer

（1）见解析；（2）；（3）等边三角形.

【解析】

（1）根据一元二次方程根的判别式和三角形的三边关系可得，即方程有两个不相等的实数根，

（2）利用周长的和为10，顶点的纵坐标比上抛物线与x轴的右边交点横坐标与顶点横坐标的差的值为正切值；解方程组求出（a+b）的值和c的值；代入解析式即可

（3）联立方程组可得，如图，设，根据三角形的面积关系可得，结合韦达定理可得，所以三角形是等边三角形.

（1）证明：在关于的一元二次方程中，

，

是的边长， ，

，方程有两个不相等的实数根，

抛物线与轴必有两个交点

（2）【解析】
由，得，

设抛物线的对称轴交轴于，如图， 则，

由，

得，

解得，则，

抛物线的解析式为： ，

（3）【解析】
由，

得，

由题意，得，

则，

如图，设，

由，得，

，

由（3）得或，

由（2）得，

，

由（1）得，即，

，

为等边三角形.