Question

如图，是半径为的⊙的直径，直线与所在直线垂直，垂足为，，点是⊙上异于、的动点，直线、分别交于、两点.

（1）当点为中点时，连接，，判断直线与⊙是否相切并说明理由.

（2）点是⊙上异于、的动点，以为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由.

Answer

（1）CP为⊙O切线，理由详见解析；（2）以 MN 为直径的动圆过定点D，CD=

【解析】

（1）如图1，根据同角的余角相等可得：∠AMC=∠ABP=∠OPB，从而得OP⊥PC，可知：直线PC与⊙O相切；
（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，证△MDC∽△DNC得比例式，同理证△ACM∽△NCB，得DC的长，则以MN为直径的一系列圆经过定点D，此顶点D在直线AB上且CD的长为，同理在MN的右侧 还有一个点D'，到C的距离也是．．

（1）直线PC与⊙O相切，
理由是：如图所示：

∵AC⊥MN，
∴∠ACM=90°，
∴∠A+∠AMC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=∠NPM=90°，
∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，
∴∠ABP=∠AMC，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
Rt△PMN中，C为MN的中点，
∴PC=CN，
∴∠PNM=∠NPC，
∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，
即OP⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切；
（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，
∵MN为直径，
∴∠MDN=90°，
则∠MDC+∠NDC=90°，
∵∠DCM=∠DCN=90°，
∴∠MDC+∠DMC=90°，
∴∠NDC=∠DMC，
则△MDC∽△DNC，
∴，即DC2=MC•NC
∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，
∴△ACM∽△NCB，
∴，即MC•NC=AC•BC；
即AC•BC=DC2，
∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3-2=1，
∴DC2=5，
∴DC=，
∵MN⊥DD'，
∴D'C=DC=，
∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．