Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE＝OF；

（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）5；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明见解析．

【解析】

（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而由“等角对等边”证明即可；

（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；

（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定即可得出.

（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴OE＝OF；

（2）【解析】
∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，

∵CE＝8，CF＝6，

∴EF＝＝10，

∴OC＝EF＝5；

（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，

∵EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF＝90°，

∴平行四边形AECF是矩形．