Question

如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．

（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；

（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；

（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．

Answer

（1）-2；（2）（-3，-2）；（3）mn=18.

【解析】（1）直接把A点坐标代入反比例函数解析式即可得；

（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，可证得△ADO≌△OEC，由y=－x和y=－解得x＝±2，y＝±3，从而可得A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，从而可得C（-3，-2）；

（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，可得△ADO∽△OEC，根据相似三角形的性质进行推导即可得.

（1）把（a，3）代入=－，得 ，解得a=－2；

（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，

∴∠DAO+∠AOD=90°，

∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，

当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，

∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，

∴△ADO≌△OEC，

又k=－，由y=－x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），

由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，

所以C（-3，-2）；

（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，

∴∠DAO+∠AOD=90°，

∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，

∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，

∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

∵∠ACO=∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，

∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－n，OD=－m，

∴A（n，－m），代入y=－中，

得mn=18.