Question

如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，.

（1）求证：；

（2）若，，三点共线，连接，求线段的长.

（3）求线段长的最小值.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）的最小值是.

【解析】

（1）根据正方形的性质易证，即可得证；

（2）过作的垂线，交的延长线于，利用勾股定理得出，，再证得，得出，设，则，由勾股定理得：，求得，，再利用勾股定理求得

（3）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，延长到点，使得，连接，证得，得，故当最小时，为、、三点共线，根据勾股定理得出，利用求出最小值.

（1）证明：如图1，由旋转得：，，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴；

（2）【解析】
如图2，过作的垂线，交的延长线于，

∵是的中点，且，

∵，，三点共线，

∴，

由勾股定理得：，

∵，

∴，

由（1）知：，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

设，则，

由勾股定理得：，

或（舍），

∴，，

由勾股定理得：.

（3）【解析】
如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，

延长到点，使得，连接，

∵，，

∴，

∴，

当最小时，为、、三点共线，

，

∴，

∴的最小值是.