Question

已知顶点为的抛物线经过点，点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线与轴相交于点轴相交于点，抛物线与轴相交于点，在直线上有一点，若，求的面积；

(3)如图2，点是折线上一点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿翻折得到，若点落在轴上，请直接写出点的坐标.

Answer

(1) 抛物线的解析式为；(2)的面积为或；（3）Q点坐标为：（-，）或或.

【解析】（1）把点代入，求得的值即可得；

（2）由已知可求得直线的解析式为：，根据解析式易求，由，继而可求得的长，设点，可得关于t的方程，解方程求得t的值，根据对称性可知方程的解都满足条件，由此即可得；

（3）若分点Q在AB要，点Q在BC上，且Q在y轴左侧， Q在BC上，且Q在y轴右侧，三种情况分别讨论即可得.

（1）把点代入，解得：，

∴抛物线的解析式为：，

即；

（2）由（1）可得点A的坐标为（，-2）.

设直线解析式为：，代入点的坐标得：

，解得：，∴直线的解析式为：，

易求得，

若，

当时，则有，

，

设点，则：，

解得，，

由对称性知；当时，也满足，

，都满足条件，

的面积，的面积为或；

（3）若Q在AB上运动，如图：设Q（a，-2a-1），则QN=-2a，NE=-a，QN1=-2a，

易知△QRN1∽△N1SE，

∴，

a=-，∴Q（-，）；

若Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图：设NE=a，则N1E=a，

易知RN1=2，SN1=1，QN1=QN=3，

∴QR=，SE=，

Rt△SEN1中，，

，∴Q；

若Q在BC上运动，且Q在y轴右侧，如图：设NE=a，则N1E=a，

易知RN1=2，SN1=1，QN1=QN=3，

∴QR=，SE=，

Rt△SEN1中，，

，∴Q；

综上所述Q点坐标为：（-，）或或.