Question

已知正多边形每个内角比相邻外角大60°．

（1）求这个正多边形的边数；

（2）求这个正多边形的内切圆与外切圆的半径之比；

（3）将这个多边形对折，并完全重合，求得到图形的内角和是多少度（按一层计算）？

Answer

（1）这个正多边形的边数是六；（2）这个正多边形的内切圆和外接圆的半径之比是 ；（3）得到图形的内角和是360°或540°

【解析】

（1）可根据正多边形的一个内角与外角互补可得外角的度数，用 360°除以一个外角的度数即为多边形的边数；

（2）从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可；

（3）由于正六边形有2种对称轴，可按这两种对称轴分别折叠计算．

（1）设正多边形的外角为x°，则内角为（180﹣x）°，根据题意得：

180﹣x﹣x=60

解得：x=60．

故正多边形的外角为60°，边数=360°÷60°=6．

答：这个正多边形的边数为六．

（2）设正六边形的外接圆的半径为r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，因而正六边形的内切圆半径与外接圆半径之比为：2．

（3）当沿过两个端点的对称轴所在的直线折叠时，得到的图形是四边形，内角和是（4﹣2）×180°=360°；

当沿对边中点所在的直线折叠时，得到的图形是五边形，内角和是（5﹣2）×180°=540°．

综上所述：得到图形的内角和是360°或540°．