Question

如图，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，点与点关于轴对称.动点，分别在线段，上（点与点，不重合），且满足.

（1）求点，的坐标及线段的长度；

（2）当点在什么位置时，，说明理由；

（3）当为等腰三角形时，求点的坐标.

Answer

（1）10；（2）当点的坐标是时，；（3）点的坐标是或.

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，结合点与点关于轴对称可得出点的坐标，进而可得出线段的长度；

（2）当点的坐标是时，，由点，的坐标可得出的长度，由勾股定理可求出的长度，进而可得出，通过角的计算及对称的性质可得出，，结合可证出，由此可得出：当点的坐标是时，；

（3）分，及三种情况考虑：①当时，由（2）的结论结合全等三角形的性质可得出当点的坐标是时；②当时，利用等腰三角形的性质结合可得出，利用三角形外角的性质可得出，进而可得出此种情况不存在；③当时，利用等腰三角形的性质结合可得出，设此时的坐标是，在中利用勾股定理可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.综上，此题得解.

【解析】
（1）当时，，

点的坐标为；

当时，，解得：，

点的坐标为；

点与点关于轴对称，

点的坐标为，

.

（2）当点的坐标是时，，理由如下：

点的坐标为，点的坐标为，

，

.

，，，

.

和关于轴对称，

.

在和中，

.

当点的坐标是时，.

（3）分为三种情况：

①当时，如图1所示，由（2）知，当点的坐标是时，

，

此时点的坐标是；

②当时，则，

，

.

而根据三角形的外角性质得：，

此种情况不存在；

③当时，则，

，如图2所示.

设此时的坐标是，

在中，由勾股定理得：

，

，

解得：，

此时的坐标是.

综上所述：当为等腰三角形时，点的坐标是或.