Question

如图，已知直线AB：y＝﹣x+4与直线AC交于点A，与x轴交于点B，且直线AC过点C（﹣2，0）和点D（0，1），连接BD．

（1）求直线AC的解析式；

（2）求交点A的坐标，并求出△ABD的面积；

（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+PD的值最小？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝x+1；（2）点A坐标为（2，2），S△ABD＝3；（3）点P坐标为（，0）.

【解析】

（1）利用待定系数法求AC解析式；
（2）将直线AB，AC解析式组成方程组，可求点A坐标，根据S△ADB=S△BEO-S△ADE-S△BDO，可求△ABD的面积；
（3）作点D（0，1）关于x轴的对称点D'（0，-1），先求出直线AD'的解析式，即可求直线AD'与x轴的交点P的坐标．

【解析】
（1）设直线AC解析式为：y＝kx+b，

根据题意得：

∴k＝ ，b＝1

∴直线AC解析式为：y＝x+1

（2）根据题意得：

解得：

∴点A坐标为（2，2）

如图，设直线AB与y轴交点为E，

∵直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点E，

∴点B（4，0），点E（0，4）

∴OB＝4，OE＝4，

∵DO＝1，

∴DE＝3，

∵S△ADB＝S△BEO﹣S△ADE﹣S△BDO，

∴S△ADB＝ ＝3，

（3）如图，作点D（0，1）关于x轴的对称点D'（0，﹣1），

∵AP+DP＝AP+PD'，

∴当点P在AD'上时，AP+DP的值最小，

连接AD'交x轴于点P，

设直线AD'的解析式为：y＝mx+n，

根据题意得：

解得：

∴直线AD'的解析式为：y＝x﹣1

当y＝0时，x＝

∴点P坐标为（，0）

故答案为：（1）y＝x+1；（2）点A坐标为（2，2），S△ABD＝3；（3）点P坐标为（，0）.