Question

如图抛物线y=ax²+bx，过点A（4，0）和点B（6，2），四边形OCBA是平行四边形，点M（t，0）为x轴正半轴上的点，点N为射线AB上的点，且AN=OM，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；

（2）当△AMN的周长最小时，求t的值；

（3）如图②，过点M作ME⊥x轴，交抛物线y=ax²+bx于点E，连接EM，AE，当△AME与△DOC相似时．请直接写出所有符合条件的点M坐标．

Answer

（1）y=x2﹣x，点D的坐标为（2，﹣）；（2）t=2；（3）M点的坐标为（2，0）或（6，0）．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用配方法把一般式化为顶点式得到点D的坐标；

（2）连接AC，如图①，先计算出AB=4，则判断平行四边形OCBA为菱形，再证明△AOC和△ACB都是等边三角形，接着证明△OCM≌△ACN得到CM=CN，∠OCM=∠ACN，则判断△CMN为等边三角形得到MN=CM，于是△AMN的周长=OA+CM，由于CM⊥OA时，CM的值最小，△AMN的周长最小，从而得到t的值；

（3）先利用勾股定理的逆定理证明△OCD为直角三角形，∠COD=90°，设M（t，0），则E（t，t2-t），根据相似三角形的判定方法，当时，△AME∽△COD，即|t-4|：4=|t2-t |：，当时，△AME∽△DOC，即|t-4|：=|t2-t |：4，然后分别解绝对值方程可得到对应的M点的坐标．

（1）把A（4，0）和B（6，2）代入y=ax2+bx得

，解得，

∴抛物线解析式为y=x2-x；

∵y=x2-x =-2) 2-；

∴点D的坐标为（2，-）；

（2）连接AC，如图①，

AB==4，

而OA=4，

∴平行四边形OCBA为菱形，

∴OC=BC=4，

∴C（2，2），

∴AC==4，

∴OC=OA=AC=AB=BC，

∴△AOC和△ACB都是等边三角形，

∴∠AOC=∠COB=∠OCA=60°，

而OC=AC，OM=AN，

∴△OCM≌△ACN，

∴CM=CN，∠OCM=∠ACN，

∵∠OCM+∠ACM=60°，

∴∠ACN+∠ACM=60°，

∴△CMN为等边三角形，

∴MN=CM，

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM，

当CM⊥OA时，CM的值最小，△AMN的周长最小，此时OM=2，

∴t=2；

（3）∵C（2，2），D（2，-），

∴CD=，

∵OD=，OC=4，

∴OD2+OC2=CD2，

∴△OCD为直角三角形，∠COD=90°，

设M（t，0），则E（t，t2-t），

∵∠AME=∠COD，

∴当时，△AME∽△COD，即|t-4|：4=|t2-t |：，

整理得|t2-t|=|t-4|，

解方程t2-t =（t-4）得t1=4（舍去），t2=2，此时M点坐标为（2，0）；

解方程t2-t =-（t-4）得t1=4（舍去），t2=-2（舍去）；

当时，△AME∽△DOC，即|t-4|：=|t2-t |：4，整理得|t2-t |=|t-4|，

解方程t2-t =t-4得t1=4（舍去），t2=6，此时M点坐标为（6，0）；

解方程t2-t =-（t-4）得t1=4（舍去），t2=-6（舍去）；

综上所述，M点的坐标为（2，0）或（6，0）．