Question

（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否仍然成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），、是直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求证：．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立；证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；

（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．

（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD=EA，∠DBA=∠CAE，证明△DBF≌△EAF（SAS），得到DF=EF．

（1）∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠AEC=90°

又∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

（2）成立

∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE；

（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，

∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE，

∵BF=AF

在△DBF和△EAF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF.