Question

如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P.

（1）如果∠A=70°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，过P点作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；

①                    ②              ③             ④

在（2）的条件下，将直线MN绕点P旋转.

（ⅰ）当直线MN与AB、AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由；

（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由.

Answer

（1）125°；（2）∠MPB+∠NPC=90°-∠A；（3）∠MPB+∠NPC= 90°-∠A，∠MPB-∠NPC=90°-∠A.

【解析】

试题（1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A，由角平分线的性质可知及三角形内角和定理可求出∠BPC的度数；

（2）利用平行线的性质求解或先说明∠BPC=90°+∠A；

（3）（ⅰ）先说明∠BPC=90°+∠A，则∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A；（ⅱ）不成立，∠MPB-∠NPC=90°-∠A.理由：由图可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+∠A，因此∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A.

试题解析：：（1）∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，

∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=110°，

∵∠1=∠ABC，

∠2=∠ACB，

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）

=×110°=55°，

∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-55°=125°；

（2）由（1）可证∠BPC=90°+∠A，

∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A；

（3）（ⅰ）∠MPB+∠NPC= 90°-∠A.

理由：先说明∠BPC=90°+∠A，则∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A；

（ⅱ）不成立（1分），∠MPB-∠NPC=90°-∠A（1分）.

理由：由图可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+∠A，

∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A.

考点: （1）平行线的性质；2.角平分线的性质；3.三角形内角和.