Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，由OA=OD知∠OAD=∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO，据此可得∠DAE=∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；

（2）作OG⊥AE，知AG=CG=AC=2，证四边形ODEG是矩形得OA=OB=OD=CG+CE=4，再证△ADE∽△ABD得AD2=48，据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案．

（1）如图，连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠EAF，

∴∠DAE=∠DAO，

∴∠DAE=∠ADO，

∴OD∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD，

则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，

∴四边形ODEG是矩形，

∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，

∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，

∴△ADE∽△ABD，

∴，即，

∴AD2=48，

在Rt△ABD中，BD==4，

在Rt△ABD中，∵AB=2BD，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=60°，

则的长度为．