Question

如图，在平面直角坐标系 中，的直角边在轴上，．点的坐标为，点的坐标为，是边的中点，函数 的图象经过点．

（1）求的值；

（2）将绕某个点旋转后得到（点 ，， 的对应点分别为点，，），且 在轴上，点在函数的图象上，求直线的表达式．

Answer

（1）6；（2）y=2x-1．

【解析】

（1）根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点的坐标，将其代入反比例函数解析式求得的值；

（2）根据旋转的性质推知：，故其对应边、角相等：，，，由函数图象上点的坐标特征得到：，.结合得到，利用待定系数法求得结果.

（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C的坐标为（3，4），

∴点B的坐标为（3，0），CB=4．

∵M是BC边的中点，

∴点M的坐标为（3，2）．

∴k=3×2=6．

（2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，

∴△DEF≌△ABC．

∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．

∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），

∴AB=2．

∴DE=2．

∵EF在y轴上，

∴点D的横坐标为2．

当x=2时，y=3．

∴点D的坐标为（2，3）．

∴点E的坐标为（0，3）．

∵EF=BC=4，

∴点F的坐标为（0，-1）．

设直线DF的表达式为y=ax+b，将点D，F的坐标代入，

∴直线DF的表达式为y=2x-1．