Question

如图，在中，，点O是上一点，以O为圆心，为半径的圆分别交于点，点D是弧的中点.

（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，求弧的长度（结果保留）

Answer

（1）直线与 相切，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，利用弧长公式计算即可．

（1）BC与⊙O相切．

证明：连接OD．

∵点D是弧EF的中点

∴∠BAD=∠CAD，

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC，

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切；

（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，

根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，

解得：x=2，即OD=OF=2，

∴OB=2+2=4，

∵Rt△ODB中，OD=OB，

∴∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∴弧的长度为：.