Question

定义：点P在一次函数图象上，点Q在反比例函数图象上，若存在点P与点Q关于原点对称，我们称二次函数为一次函数与反比例函数的“新时代函数”，点P称为“幸福点”。

（1）判断与是否存在“新时代函数”，如果存在，请求出“幸福点”坐标，如果不存在，请说明理由；

（2）若反比例函数与一次函数有两个“幸福点”，和，且，求其“新时代函数”的解析式；

（3）若一次函数和反比例函数在自变量x的值满足的情况下，其“新时代函数”的最小值为3，求m的值。

Answer

（1）存在“新时代函数”，幸福点坐标为，；（2）或；（3）或 .

【解析】

（1）联立与得到关于x的一元二次方程，解方程可得，，根据 “新时代函数”定义，可得幸福点坐标为，；

（2）联立与得到关于x的一元二次方程，分解因式法解得，，代入中，可得，即可求得“新时代函数”解析式；

（3）一次函数和反比例函数的“新时代函数”为，其对称轴为，分，，和三种情况讨论即可.

双曲线是关于原点对称的，所以直线与双曲线的交点就是“幸福点”

（1）联立与得：，

解得：，，

存在“新时代函数”，幸福点坐标为，；

（2）联立与得：

，

，，

，

，

∴“新时代函数”的解析式：或；

（3）一次函数和反比例函数的“新时代函数”为，此二次函数图象开口向上，对称轴：，

当时，最小值为，

①若，即，当，

解得：，；

②若，即，

当，

解得：；

③若，即，当时，，

解得： ， （舍），

综上所述，或.