Question

如图，在矩形中，为原点，点的坐标为，点的坐标为.抛物线经过点，，与交于点.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)为线段上一个动点(不与点重合)，为线段上一个动点，，连接，设，的面积为，求的最大值及此时点的坐标；

(3)在(2)的条件下，为抛物线的对称轴上一点，请求出使为锐角三角形时，点的纵坐标的取值范围.

Answer

(1)；(2)时，取最大值，最大值为；点的坐标为(3，4)；(3)或.

【解析】

（1）将，两点坐标代入抛物线求解即可；

（2）利用勾股定理求得AC=10，过点作于点，则，得到，根据得到S关于m的二次函数关系式，然后化成顶点式即可得解；

（3）由抛物线解析式可得对称轴为直线，得到D点坐标，分当时，当时，当时，三种情况求得F点坐标即可.

【解析】
(1)将，两点坐标代入抛物线，得.

解得.

抛物线的解析式为.

(2)，，

.

如图，过点作于点，则.

.

.

当时，取最大值，最大值为.

，

，

点的坐标为；

(3)∵抛物线的解析式为

对称轴为直线.

点的坐标为.

由(2)知.

当时，；

当时，；

当时，设.

，

.

解得或.

，.

满足为直角三角形的点共有四个，坐标分别为，，，.

使为锐角三角形时，点的纵坐标的取值范围为或.