Question

阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如,然后小明以进行了以下探索：

设（其中a，b，m，n均为整数），则有,所以，，这样小明找到了一种类似的式子化为平方式的方法。

请仿照小明的方法探索解决下列问题：

（1）当a，b，m，n均为整数时，若,则a=_____,b=_______;

（2）请找一组正整数，填空：________+_________=（____+______）；

（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值。

Answer

（1），；（2）9,4,2, （答案不唯一）；（3）9或21.

【解析】

（1）利用完全平方公式展开，然后根据有理数的性质可用m、n表示a、b；
（2）利用（1）中结论，设m=3，n=2，然后计算出对应的a、b的值；
（3）利用（1）中结论a=m2+5n2；2mn=4，再根据整除性确定m、n的值，然后计算出对应a的值．

【解析】
（1）∵ = +2 + , ∴a=，b=.

（2）令m=2，n=1，则a=22+5×12=9，b=2×2×1=4，

∴9+4=（2 + ）2；

故答案为：9,4,2,（答案不唯一）；

（3）由题意，得

∵，且m，n为正整数

∴m=2，n=1或m=1，n=2

∴或.