Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x。

（1）当AM=时，求x的值；

（2）随着点M在边AD上位置的变化，ΔPDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

（3）若AM=a,四边形BEFC的面积为S，求S与a之间的函数表达式。

Answer

（1）；（2）ΔPDM的周长不变，为定值2；（3）S=

【解析】

（1）利用勾股定理构建方程，即可解决问题；（2）ΔPDM的周长不变，为定值2，连接BM，BP，过B作BH⊥MN于点H，根据折叠性质、等边对等角、两直线平行内错角相等证明，得到AM=HM，AB=BH， 再证明，得到HP=CP，所以ΔPDM的周长=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2.

(3) 过F点作FQ⊥AB，连接BM，EM=BE=x，由折叠性质证明，所以AM=QE，在RtΔAEM中，由勾股定理得：，即，所以，又因为FQ⊥AB，四边形ABCD是正方形，可得CF=BQ=BE-QE=，再根据梯形面积公式即可解答.

解:（1）由题意可知，BE=EM=x，AE=1-x，在RtΔAEM中

，解得.

（2）ΔPDM的周长不变，为定值2；

如图1，连接BM，BP，过B作BH⊥MN于点H，

∵BE=EM

∴∠EBM=∠EMB

又∵∠EBC=∠EMN=90°

∴∠MBC=∠BMN

∵AD∥BC

∴∠AMB=∠MBC=∠BMN

在RtΔABM和RtΔHBM中

∴

∴AM=HM，AB=BH

在RtΔBHP和RtΔBCP中

∴

∴HP=CP.

又∵ΔPDM的周长=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2.

∴ΔPDM周长为定值2.

（3）如备用图，过F点作FQ⊥AB，连接BM

由折叠可知，∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，EM=BE=x

∴∠QEF=∠EMB=∠EBM

在RtΔABM和RtΔQFE中

∴

∴AM=QE

在RtΔAEM中，

即

∴

∵FQ⊥AB，四边形ABCD是正方形

∴CF=BQ=BE-QE=

∴

.