Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为_____．

Answer

3或

【解析】

△AB′F为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的长，便求出AE。当∠AB′F为直角时，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，构造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.

【解析】
①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：

根据题意，BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2

∴AB===4

∴∠B=∠EB′F =30°.

∵在Rt△BDF中，∠B=30°

∴DF=BD=

∴B′F=B′D-DF=-=

∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°

∴EF=B′E,

∵B′F===EF,

即=EF,

∴EF=，则BE=1，

∴AE=AB-BE=4-1=3.

②当D B′⊥A B′时，△AB′F为直角三角形，如下图：

连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N.

根据题意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2

∴AB===4

∴∠B=∠EB′F =30°.

∵∠AB′F=90°

∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°

∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°

∴B′N=AB′

在Rt△AB′D和Rt△ACD中

∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（HL）

∴AB′=AC=2

∴B′N=1,AN=

设AE=x,则BE= B′E=4-x

∵在Rt△AEN中，

∴()2+(4-x+1)2=x2

∴x=

综上，AE的长为3或.