Question

如图，直线与相切于点T，直线与相交于两点，连接.

（1）求证：；

（2）若，请直接写出图中阴影部分的面积（结果保留无理数）

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用切线的性质得∠OTP=90°，即∠2+∠PTA=90°，再利用圆周角定理得到∠ATB=90°，则∠2+∠1=90°，然后利用等量代换得到∠PTA=∠B；
（2）利用TP=TB得到∠P=∠B，而∠POT=2∠B，所以∠POT=2∠P，则利用∠OTP=90°可计算出∠P=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OT=6，△AOT为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S扇形AOT-S△AOT进行计算．

（1）证明：∵直线PT与⊙O相切于点T，
∴OT⊥PT，
∴∠OTP=90°，
即∠2+∠PTA=90°，
∵AB为直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠PTA=∠1，
∵OB=OT，
∴∠1=∠B，
∴∠PTA=∠B；
（2）【解析】
∵PT=BT，
∴∠P=∠B，
∵∠POT=∠B+∠1=2∠B，
∴∠POT=2∠P，
而∠OTP=90°，
∴∠P=30°，∠POT=60°，
∴OT=PT=6，△AOT为等边三角形，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOT-S△AOT=-=6π-9.