Question

在四边形中，平分交于点，点在线段上运动.

（1）如图1，已知.

①若平分，则______；

②若，试说明；

（2）如图2，已知，试说明平分.

Answer

（1）①90°；②证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）①由可得，根据平行线的性质可得∠ABC+∠BCD=180°，已知BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，由角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠BCF=∠BCD，所以∠FBC+∠BCF=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，即可得∠BFC=90°；②已知CE平分∠BCD，由角平分线的定义可得∠DCE=∠BCF，根据等角的余角相等可得∠FBC=∠DEC；再利用同角的补角相等证得∠ABF=∠DEC，所以∠DEC=∠ABF=∠FBC，即可得；（2）已知CE平分∠BCD，由角平分线的性质可得∠DCE=∠BCF，由三角形的内角和定理可证得∠FBC=∠DEC；由∠BFC+∠BFE=180°，∠BFC=∠A，可得∠BFE+∠A=180°，再由四边形的内角和为360°可得∠ABF+∠AEF=180°，再利用同角的补角相等证得∠ABF=∠DEC，所以∠DEC=∠ABF=∠FBC，即可得.

（1）∵，

∴，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，

∴∠FBC=∠ABC，∠BCF=∠BCD，

∴∠FBC+∠BCF=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，

∴∠BFC=90°；

故答案为：90°；

②∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCF，

∵∠BFC=∠D=90°，

∴∠BCF+∠FBC=90°，∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠FBC=∠DEC；

∵∠ABF+∠AEF=180°，∠DEC+∠AEF=180°,

∴∠ABF=∠DEC，

∴∠DEC=∠ABF=∠FBC，

∴；

（2）∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCF，

∵∠BFC=∠D，

∴∠FBC=∠DEC；

∵∠BFC+∠BFE=180°，∠BFC=∠A，

∴∠BFE+∠A=180°，

∴∠ABF+∠AEF=180°，

∵∠DEC+∠AEF=180°，

∴∠ABF=∠DEC，

∴∠DEC=∠ABF=∠FBC，

∴.