Question

阅读材料，回答问题：

若整数能被4整除，则称整数为“完美数”.例如：8能被4整除，所以8是“完美数”；一4是4的倍数，所以一4也是“完美数”。

（1）10到15之间的“完美数”是_______；

若，是整数，则 ________ “完美数”（填：“是”或“不是”）；

（2）若任意四个连续的“完美数”中最小数的是4（是整数），则它与四个数中最大数的积是32的倍数吗？请说明理由；

（3）当是正整数时，试说明：一定是“完美数”.

Answer

（1）12，是；（2）是；（3）见解析.

【解析】

（1）10到15之间的数能被4整除的数只有12，可得10到15之间的“完美数”是12；（2）根据题意表示出这四个连续的“完美数”中最大数的是4（+3），再求得这四个连续的“完美数”中最小数与最大数的积为，由此即可解答；（3）因为=， n是正整数，即可判定和都是偶数，所以能被4整除，结论得证.

（1）∵10到15之间的数能被4整除的数只有12，

∴10到15之间的“完美数”是12；

∵=4mn（，是整数），4mn能被4整除，

∴ 是“完美数”；

故答案为：12，是；

（2）∵任意四个连续的“完美数”中最小数的是4（是整数），

∴这四个连续的“完美数”中最大数的是4（+3），

∴这四个连续的“完美数”中最小数与最大数的积为4n·4（+3）=，

∵n是整数，

∴是偶数，

∴这四个连续的“完美数”中最小数与最大数的积是32的倍数；

（3）=，

∵n是正整数，

∴和都是偶数，

∴能被4整除，

即是“完美数”.