Question

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，D是的中点，过D点作，交BC的延长线于点E，延长ED 交BA延长线于点F.

(1)求证：EF是半圆O的切线；

(2)若，，求DC的长.

Answer

(1)证明见解析；(2)DC=.

【解析】

（1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠EBD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ODB，所以，由,即可得，结论得证；（2）连接AD，DC，设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程得到r＝3，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．

(1)证明：连接

∵ ，

，

∵，

,

，

,

又，

，

是半圆的切线；

(2)【解析】
连结，设⊙半径为，

在中，，

即，解得，，

易证，

，

设

在中，

即， 解得，，

∵