Question

已知抛物线过点，与轴交于点,，交y轴于点，顶点为．

(1)求抛物线解析式；

(2)在第一象限内的抛物线上求点，使 ，求点的坐标；

(3)是第一象限内抛物线上一点，是线段上一点，点 在点右侧，且满足，当为何值时，满足条件的点只有一个？

Answer

(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）已知抛物线过定点，用待定系数法即可求解；（2）过点D作DH⊥y轴交y轴于点H，DH＝HC，OA＝OC，∠DHC＝∠AOC＝90°得△DHC和△AOC都是等腰直角三角形，从而得出∠DCH＝∠ACO＝45°，DC＝，AC＝，∠ACD＝90°，DC⊥AC，延长DC至N使CN＝DC＝，根据，，得出S△ADC＝S△ACM，得出直线AC的解析式为：y＝x+3，从而得出直线NM的解析式为：y＝x+1，由求得点M的坐标为：；（3）延长DF交x轴于点E，过点D作DG⊥x轴交x轴于点G，设OE＝a，则EA＝ED＝a+3，GE＝a+1，在Rt△DGE中，DG2+GE2＝DE2，解得a＝2，解得E（2，0）得直线DE的解析式为： ，联立，由此可得，由∠APF是△DPF的一个外角，可得△FDP≌△PAQ，，易得，，，设DP＝x，则PA＝ ，则AQ＝m+3，由，整理得，令△＝0，解得．

(1)依题有

解得，，

抛物线的解析式为；

(2)过点作轴于点，

由(1)得，

，，

又，

和都是等腰直角三角形，

，

,

,

，即,

延长至使，

易得

过点作交抛物线于点，

，，

，

依题有的解析式为：，

设的解析式为：

将点代入的解析式得，，

的解析式为：，

联立

解得，， (舍去)

；

(3)如图，延长交轴于点，过点作 轴于点，

，

.

设，则，，

在中，

即，解得，.

直线的解析式为：

联立

解得：，，

是第一象限内抛物线上一点，

是的一个外角，

，

，

又，

，

又，

，

，

易得，，，

设，则，

依题有，

，

，

整理得，，

.

∵当时，满足条件的只有一个,

，

解得，.