Question

数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：

定义概念：

顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．

（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；

提出猜想：

（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角　   　这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角　   　这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）

推理证明：

（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；

问题解决：

经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．

（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）

Answer

（1）见解析（2）小于；大于（3）见解析（4）见解析

【解析】

（1）在⊙O内任取一点M，连接AM，BM；
（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解；
（3）（i）BM与⊙O相交于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠ACB=∠M+∠MAC，进而可证出∠ACB＞∠M；（ii）延长BM交⊙O于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠AMB=∠ACB+∠CAM，进而可证出∠AMB＞∠ACB；
（4）由（2）的结论，可知：当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．

（1）如图2所示．

（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．

故答案为：小于；大于．

（3）证明：（i）如图1，BM与⊙O相交于点C，连接AC．

∵∠ACB＝∠M+∠MAC，

∴∠ACB＞∠M；

（ii）如图4，延长BM交⊙O于点C，连接AC．

∵∠AMB＝∠ACB+∠CAM，

∴∠AMB＞∠ACB．

（4）如图3，当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．