Question

如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．

（1）求证：△CDF≌△BDE；

（2）当AD＝　   　时，四边形AODC是菱形；

（3）当AD＝　   　时，四边形AEDF是正方形．

Answer

（1）证明见解析；（2）2；（3）)2.

【解析】

（1）根据角平分线的性质，可得DF与DE的关系，根据圆周角定理，可得DC与DB的关系，再根据HL，即可证明；（2）根据菱形的性质，可得OD与CD，OD与BD的关系，根据等边三角形的性质，可得∠DBA的度数，根据三角函数值，即可求解；(3)根据圆周角定理，可得OD⊥AB，根据勾股定理，即可求出AD的长.

(1)证明：∵，

∴CD＝BD，∠FAD＝∠BAD．

∵DF⊥AC，DE⊥AB，

∴DF＝DE，∠BED＝∠CFD＝90°.

在Rt△CFD和Rt△BED中，

∴△CDF≌△BDE(HL)．

(2)四边形AODC是菱形时，

OD=CD=BD=OB,

∴∠DBA=60°，

∴AD=AB·sin∠DBA=4sin60°=2.

(3)当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，

由勾股定理得

AD==2.