Question

直线y＝mx(m为常数)与双曲线y＝(k为常数)相交于A、B两点．

(1)若点A的横坐标为3，点B的纵坐标为﹣4

①直接写出：k＝____，m＝____；

②点C在第一象限内是双曲线y＝的点，当S_△OAC＝9时，求点C的坐标；

(2)将直线y＝mx向右平移得到直线y＝mx+b，交双曲线y＝于点E(4，y₁)和F(﹣2，y₂)，直接写出不等式mx²+bx＜k的解集：_____．

Answer

(1)①12，；②点C的坐标为(6，2)或(，8)；(2)﹣2＜x＜4．

【解析】

（1）①根据正比例函数与双曲线的交点关于原点对称得出A（3，4），B（-3，-4），进而得出k=3×4=12，m=；

②如图，过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，设C（x，），x＞0．利用反比例函数比例系数k的几何意义得出S△ONC=S△OAM，再推出S△OAC=S梯形AMNC=9，根据梯形的面积公式列式计算即可；

（2）由双曲线y=过点E（4，y1）和F（-2，y2），得出E（4，），F（-2，-），将E、F两点的坐标代入y=mx+b，得到，解得，进而解不等式mx2+bx＜k即可．

(1) ①∵直线y=mx（m为常数）与双曲线y=（k为常数）相交于A、B两点，点A的横坐标为3，点B的纵坐标为-4，

∴A（3，4），B（-3，-4），

∴k=3×4=12，m=；

②如图，过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，设C(x，)，x＞0．

∵S△OAC+S△ONC＝S梯形AMNC+S△OAM，S△ONC＝S△OAM，

∴S△OAC＝S梯形AMNC＝9，

∴S梯形AMNC＝(AM+CN)MN＝(4+)|x﹣3|＝9，

当x＞3时，化简整理方程，得2x2﹣9x﹣18＝0，解得x1＝6，x2＝﹣(舍去)，此时C

(6，2)；

当x＜3时，化简整理方程，得2x2+9x﹣18＝0，解得x1＝﹣6(舍去)，x2＝，此时C(，8)；

综上所述，所求点C的坐标为(6，2)或(，8)；

(2) 将直线y=mx向右平移得到直线y=mx+b．

∵双曲线y=过点E（4，y1）和F（-2，y2），

∴E（4，），F（-2，-），

∵直线y=mx+b过点E、F，

∴，解得，

∴不等式mx2+bx＜k即为kx2-kx＜k，

∵k≠0，

∴x2-2x＜8，

∴x2-2x-8＜0，

∴-2＜x＜4．

故答案为：﹣2＜x＜4．