Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=120°，P为直线CD上一动点，点M在线段BC上，连MP，设∠MPD=α．

（1）如图1，若MP⊥CD，则∠BMP=___度；

（2）如图2，当P点在CD延长线上时，∠BMP=___（用α表示）；

（3）如图3，当P点在DC延长线上时，（2）中结论是否仍成立？请画出图形并证明你的判断．

Answer

（1）150；（2）60°+α；（3）不成立．理由见解析.

【解析】

（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠CMP，再根据平角的定义列式计算即可得解；

（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠CMP，再根据平角的定义列式计算即可得解；

（3）根据两直线平行，同位角相等∠BCP，然后利用三角形的内角和定理求出∠CMP，再根据平角的定义列式计算即可得解．

【解析】
（1）∵AD∥BC，

∴∠C=180°-∠ADC=180°-120°=60°，

∵MP⊥CD，

∴∠CMP=90°-∠C=90°-60°=30°，

∴∠BMP=180°-∠CMP=180°-30°=150°；

（2）∵AD∥BC，

∴∠C=180°-∠ADC=180°-120°=60°，

在△CMP中，∠CMP=180°-∠C-∠MPD=180°-60°-α=120°-α，

∴∠BMP=180°-∠CMP=180°-（120°-α）=60°+α；

（3）不成立．

理由如下：∵AD∥BC，

∴∠BCP=∠ADC=120°，

在△CMP中，∠CMP=180°-∠BCP-∠MPD=180°-120°-α=60°-α，

∴∠BMP=180°-∠CMP=180°-（60°-α）=120°+α．