Question

矩形ABCD的边AB=6，BC=12，点P为矩形ABCD边上一点，连接AP，若线段AP、BD交点为点H，△PAB为等腰三角形，则AH的长为____.

Answer

或

【解析】

根据题意画出图形，分两种情况：①当P在BC上时；AB=BP，②当P在CD上时，P为CD的中点，PA=PB，由矩形的性质和勾股定理以及相似三角形的性质即可得出结果．

分两种情况：

①如图1，当P在BC上时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=12，AD//BC，∠ABP=90°，

∴△ADH∽△PBH，

∴，

∵△PAB为等腰三角形，∠ABP=90°，

∴AB=PB=6，AP=6，

∴，即，

解得：AH=4，

②如图2，当P在CD上时，PA=PB，

∴P为CD的中点，

∴PD=CD=3，

∴AP===3，

∵AB//CD，

∴△ABH∽△PDH，

∴，

∴，即，

解得：AH=2.

综上所述：AH的长为4或2.

故答案为：4或2