Question

已知抛物线y＝x²﹣mx+2m﹣1必过定点H.

(1)写出H的坐标.

(2)若抛物线经过点A(0，3)，求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方.

Answer

(1)H的坐标为(2，3)；(2)证明见解析.

【解析】

(1)把解析式y＝x2﹣mx+2m﹣1整理成y＝(x﹣2)(x+2﹣m)+3，即可求得H的坐标；

(2)把(0，3)代入y＝x2﹣mx+2m﹣1求得m＝2，设y1＝x2﹣4x+3，y2＝﹣2x+1，计算y1﹣y2＞0即可证明结论成立.

【解析】
(1)∵y＝x2﹣mx+2m﹣1

＝x2﹣4﹣m(x﹣2)+3

＝(x+2)(x﹣2)﹣m(x﹣2)+3

＝(x﹣2)(x+2﹣m)+3，

∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点(2，3)，

故H的坐标为(2，3)；

(2)证明：∵抛物线经过点A(0，3)，

∴2m﹣1＝3，解得m＝2，

∴抛物线y＝x2﹣2x+3，

设y1＝x2﹣2x+3，y2＝﹣2x﹣1，

则y1﹣y2＝(x2﹣2x+3)﹣(﹣2x﹣1)＝x2+4＞0，

∴y1＞y2，

∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方.