Question

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“转化、化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.

（1）问题背景：已知：△ABC.试说明：∠A+∠B+∠C=180°.

问题解决：（填出依据）

【解析】
（1）如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.

∵BF∥AC（作图）

∴∠1=∠C（                           ）

∠2=∠A（                           ）

∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）

∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）

小结反思：本题通过添加适当的辅助线，把三角形的三个角之和转化成了一个平角，利用平角的定义，说明了数学上的一个重要结论“三角形的三个内角和等于180°.”

（2）类比探究：请同学们参考图②，模仿（1）的解决过程试说明“三角形的三个内角和等于180°”

 

（3）拓展探究：如图③，是一个五边形,请直接写出五边形ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=       .

Answer

(1)(2) 见解析；（3）540°

【解析】

(1)运用平行线的性质进行分析即可；（2）运用两次两直线平行，内错角相等即可;(3)连接EC、EB，转换成三个三角形的内角和即可.

【解析】
(1)如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.

∵BF∥AC（作图）

∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等）

∠2=∠A（两直线平行，同位角相等）

∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）

∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）

（2）如图②，过C作MN∥AB

∵MN∥AB

∴∠1=∠B,∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角的定义）

∴A+∠ABC+∠C=180°

（3）如图：连接EC、EB，

∵在△ABC、△ACD和△AED中，

∴∠BAC+∠B+∠ACB=180"，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°∠DAE+∠E+∠ADE=180°

∴∠BAE+∠B+∠DCB+ ∠CDE+∠E

=∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠BCA+∠ACD+∠ADE+∠ADC+∠B+∠E

=(∠BAC+∠B+∠ACB)+( ∠DAC+∠ACD+∠ADC)+( ∠DAE+∠E+∠ADE)

=540°