Question

如图，P是等边△ABC内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的大小之比是（从小到大）（     ）

A.2：3：4 B.4：5：6 C.3：4：5 D.不确定

Answer

A

【解析】

将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，可得△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再求出∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=40°，∠P′PC=80°，∠PCP′=60°，即可得到答案．

如图,将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C,显然有△AP′C≌△APB,连PP′，

∵AP′=AP,∠P′AP=60°，

∴△AP′P是等边三角形，

∴PP′=AP，

∵P′C=PB，

∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，

∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7，

∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，

∴∠PP′C=∠AP′C−∠AP′P=∠APB−∠AP′P=100°-60°=40°，

∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°

∠PCP′=180°-(40°+80°)=60°，

∴∠PP′C:∠PCP′:∠P′PC=2:3:4.

故选A.