Question

如图，DB=DC,∠BAC=∠BDC=120°，DM⊥AC，E为BA延长线上的点，∠BAC的角平分线交BC于N，∠ABC的外角平分线交CA的延长线于点P，连接PN交AB于K，连接CK，则下列结论正确的是：①∠ABD=∠ACD；②DA平分∠EAC；③当点A在DB左侧运动时，为定值；④∠CKN=30° (    )

A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③

Answer

C

【解析】

由∠BAC=∠BDC=120°可知ABCD四点共圆，由圆周角定理可得∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC=30°，即可得到∠DAC=∠EAD=30°，所以①②正确；无法得出③的结论，故③错误；PKN截△ABC，根据梅涅劳斯定理可得，再根据角平分线定理可推出，，从而得出，可知CK为∠ACB的角平分线，两条角平分线交点为△ABC的内心G，设△ANC的内心为H，易知H在CG上，连接AH，NH，可得角平分线，最后推出AKNH四点共圆，即可得∠CKN=∠NAH=30°，故④正确.

【解析】
∵∠BAC=∠BDC=120°

∴ABCD四点共圆，∠DBC=∠DCB=30°，如图所示，

∴∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC=30°，

故①正确；

又∵∠EAC=180°-∠BAC=60°，

∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=30°=∠AEC

即AD平分∠EAC，故②正确；

无法得出③的结论，故③错误；

④PKN截△ABC，根据梅涅劳斯定理可得，

∵AN平分∠BAC，PB平分△ABC的外角，

∴，

∴，整理得

∴CK平分∠ACB

AN，CK交于点G，则G为△ABC的内心，

设△ANC的内心为H，易知H在CG上，

连接AH，NH，则AH平分∠NAC，NH平分∠ANC

设∠ACB=，则∠ABC=，

∴∠ANC=∠ABC+∠BAN=

∴∠ANH=∠ANC=

又∵∠AKG=∠ABC+∠KCB=

∴∠ANH=∠AKG

∴AKNH四点共圆，

∴∠CKN=∠NAH=30°，故④正确.

①②④正确，故选C.