Question

如图①，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．

（1）利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出、、ab之间的关系式，这个关系式是                                 ；

（2）若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；

（3）若将正方形EFGH的边、分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知PF=8，NH=32，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．

Answer

（1）；（2）－2019；（3）576

【解析】

（1）由正方形ABCD的面积等于边长的平方，或者等于两个小正方形的面积+两个小长方形的面积，可得关系式；

（2）设2020﹣m=a，m﹣2019=b，由完全平方公式可求解；

（3）设正方形EFGH的边长为x，则PG=x﹣8，NG=32﹣x，由S阴=S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN，代入后利用完全平方公式即可求解．

（1）根据正方形ABCD的面积等于边长的平方，即（a+b）2，也等于两个小正方形的面积+两个小长方形的面积，即a2+b2+2ab，∴（a+b）2=a2+b2+2ab．

故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；

（2）设2020﹣m=a，m﹣2019=b，

则（2020﹣m）（m﹣2019）=ab，a+b=1，a2+b2=4039．

∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴12=4039+2ab，∴ab=﹣2019，∴（2020﹣m）（m﹣2019）=﹣2019；

（3）设正方形EFGH的边长为x，则PG=x﹣8，NG=32﹣x．

∵S阴=S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN，∴，

∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴242=576．