Question

已知：关于x的方程x²+2x+k²﹣1＝0．

（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）如果方程有一个根为3，试求2k²+12k+2019的值．

Answer

（1）见解析；（2）2003

【解析】

（1）计算判别式的值得到△＝4，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；

（2）利用一元二次方程根的定义得到k2+6k＝﹣8，再把2k2+12k+2019变形为2（k2+6k）+2019，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】
（1）∵△＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）

＝4k2﹣4k2+4

＝4＞0，

∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）把x＝3代入x2+2x+k2﹣1＝0的9+6k+k2﹣1＝0，

∴k2+6k＝﹣8，

∴2k2+12k+2019＝2（k2+6k）+2019＝﹣16+2019＝2003．