Question

在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），且∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.

⑴ 如图1，若点D在BC边上（点D与B、C不重合），求∠BCE的度数.

⑵ 如图2，若点D在CB的延长线上，若DB＝5，BC＝7，求△ADE的面积．

Answer

（1）∠BCE＝90°；（2）.

【解析】

(1)如图1，∵ ∠BAC＝90°，∠DAE＝90°,

∴ ∠BAD＋∠DAC＝90°，∠EAC＋∠DAC＝90°,

∴ ∠BAD＝∠EAC .

在△ABD和△ACE中， ，

∴ △ABD≌△ACE（SAS），

∴ ∠ACE＝∠B，

∵ ∠BAC＝90°，

∴ ∠B＋∠ACB＝90°，

∴ ∠ACE＋∠ACB＝90°，即：∠BCE＝90°；

(2) 如图2，过点A作AF⊥DE于点F.

∵ AD=AE，

∴ 点F是DE的中点.

∵ ∠DAE＝90°，

∴ .

同（1）可证：△ABD≌△ACE，

∴EC=BD=5，∠ABD＝∠ACE=180°-∠ABC=135°，

∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=90°，

又∵DC=BD+BC=5+7=12，

∴DE=.

∴AF=.

∴ △ADE的面积为＝.