Question

如图①，抛物线y=a(x²+2x-3)(a≠0)与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OC=OB.

(1)直接写出点B的坐标是(           ，           )，并求抛物线的解析式；

(2)设点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是直线l，连接BD，线段OC上的点E关于直线l的对称点E'恰好在线段BD上，求点E的坐标；

(3)若点F为抛物线第二象限图象上的一个动点，连接BF，CF，当△BCF的面积是△ABC面积的一半时，求此时点F的坐标.

Answer

(1)-3，0；y=-x2-2x+3；(2)（0，2）；(3)（-2，3）或（-1，4）

【解析】

（1）解方程a（x2+2x-3）=0可得B（-3，0），A（1，0），易得C（0，-3a），则利用OB=OC得到-3a=3，解得a=-1，从而得到抛物线解析式；

（2）如图②，把一般式配方得到y=-（x+1）2+4，则D（-1，4），利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=2x+6，设E（0，t），利用对称的性质得E′（-2，t），然后把E′（-2，t）代入y=2x+6求出t，从而得到点E的坐标；

（3）易得直线BC的解析式为y=x+3，作FG∥y轴交直线BC于G，如图③，设F（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），则G（x，x+3），所以FG=-x2-3x，利用三角形面积公式得到S△FBC=×3×（-x2-3x），然后利用△BCF的面积是△ABC面积的一半得到×3×（-x2-3x）=××4×3，然后解方程求出x从而得到F点的坐标．

（1）当y=0时，a（x2+2x-3）=0，解得x1=-3，x2=1，则B（-3，0），A（1，0），

当x=0时，y=-3a，则C（0，-3a），

∵OB=OC，

∴-3a=3，解得a=-1，

∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；

故答案为-3，0；

（2）如图，

∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴D（-1，4），

设直线BD的解析式为y=kx+b，

把B（-3，0）、（-1，4）代入得，解得，

∴直线BD的解析式为y=2x+6，

设E（0，t），

∵E′点与点E关于直线x=-1对称，

∴E′（-2，t），

把E′（-2，t）代入y=2x+6得t=-4+6=2，

∴点E的坐标为（0，2）；

（3）易得直线BC的解析式为y=x+3，作FG∥y轴交直线BC于G，如图，

设F（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），则G（x，x+3），

∴FG=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，

∴S△FBC=×3×（-x2-3x），

∵△BCF的面积是△ABC面积的一半，

∴×3×（-x2-3x）=××4×3，解得x1=-1，x2=-2，

∴F点的坐标为（-2，3）或（-1，4）．