Question

如图，抛物线y＝ax²+bx+2经过点A(﹣1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使S_△ABC＝S_△ABD？若存在，请求出点D坐标：若不存在，请说明理由.

Answer

(1)y＝﹣x2+x+2；(2)存在，D(3，2)或D(，2).

【解析】

（1）把A、B点代入抛物线y=ax2+bx+2得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b得到抛物线解析式；

（2）先确定C（0，2），设D（x，x2x+2）（x＞0），利用三角形面积公式得到（4+1）×|x2x+2|（4+1）×2，然后分别解方程x2x+2=2和x2x+2=﹣2，从而得到满足条件的D点坐标．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，

解得：，∴抛物线解析式为yx2x+2；

（2）存在点D，使S△ABC=S△ABD．

当x=0时，yx2x+2=2，则C（0，2），

设D（x，x2x+2）（x＞0），

（4+1）×|x2x+2|（4+1）×2，

当x2x+2=2时，解得：x1=0（舍去），x2=3，此时D（3，2）；

当x2x+2=﹣2时，解得：x1（舍去），x2，此时D（，2）．