Question

如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC和CB延长线上的点，且，连接AD、AE，BM、CN分别是△ABE和△ACD的高线，垂足分别为M、N， BG、CH分别是∠ABE和∠ACD的平分线，分别交AE、AD于点G、H.

证明:(1)△ABE∽△DCA;

(2)sin∠MBG=sin∠NCH.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由两组对边成比例且夹角相等易证△ABE∽△DCA；

（2）由△ABE∽△DCA可得∠E=∠CAD，由互余关系可得∠EBM=∠ACN，再根据角平分线得到∠EBG=∠ACH，角度作差可得∠MBG=∠NCH，即可得证.

证明：（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∴∠ABE=∠DCA=120°

又∵

∴△ABE∽△DCA

（2）∵BM、CN分别是△ABE和△ACD的高线，

即BM⊥AE，CN⊥AD

∴∠EBM+∠E=90°，∠ACN+∠CAD=90°，

∵△ABE∽△DCA

∴∠E=∠CAD

∴∠EBM=∠ACN

又∵BG平分∠ABE，CH平分∠ACD，且∠ABE=∠ACD=120°

∴∠EBG=∠ACH=60°

∴∠EBG-∠EBM=∠ACH-∠ACN，即∠MBG=∠NCH

∴sin∠MBG=sin∠NCH