Question

  如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.

  （Ⅰ）求证：平面平面；

  （Ⅱ）求直线与平面所成的角正弦值；

  （Ⅲ）求点到平面的距离.

Answer

 【解析】
（Ⅰ）设与交点为，延长交的延长线于点，则，

∴，∴，∴，又∵，

∴，又∵，∴，∴，

∴, 又∵底面，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面   …………………………………………………4分

（Ⅱ）连结，过点作于点，则由（Ⅰ）知平面平面，

且是交线，根据面面垂直的性质，得平面，

从而,即为直线与平面所成的角.

在中，，

在中，.

所以有，

即直线与平面所成的角的正弦值为  ………………………8分

（Ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，

即. 在中，，

从而点到平面的距离等于 .        ………………………12分

解法二：如图所示，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为,，，，.

（Ⅰ）由于，,， 所以，

，所以，而，

所以平面，∵平面，∴平面平面……………………4分

（Ⅱ）设是平面的一个法向量，则，

   由于，，所以有

，

令，则，即，

再设直线与平面所成的角为，

而，所以，

因此直线与平面所成的角为正弦值为      ……………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，而，

所以点到平面的距离为   ……………………12分