Question

已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率为．过点(0，3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B．

    （1）求椭圆C的方程；

（2）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点M，求此时l的方程．

Answer

 【解析】
（1）由题知a2=m，b2=1，∴ c2=m-1．

∴ ，解得m=4．

∴ 椭圆的方程为．  …………………………………………………4分

（2）由（1）知M(1，0)，且据题知=0．

当l的斜率不存在时，A(0，2)，B(0，-2)，

∴ =(-1，2)，=(-1，-2)，

∴ =(-1)×(-1)+2×(-2)=-3≠0，不符合条件．……………………6分

当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)．

联立l和椭圆的方程：  消去y，整理得(4+k2)x2+6kx+5=0，

∴ Δ=(6k)2-4×(4+k2)×5=16k2-80>0，解得k2>5．

且，

∴ y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=． …………………10分

∵ =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2

                 =++1+

                 =，

∴ =0，解得k=-3，或k=5（均满足条件）．

∴  l的方程为y=-3x+3，或y=5x+3．………………………………………12分