Question

已知椭圆：的左、右焦点为、，椭圆上的点 满足．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）自定点作一条直线与椭圆交于不同的两点、（点在点的下方），记，求的取值范围．

Answer

 【解析】
（1）设，其中，于是，，则由可得，

所以．………………………………………………………2分

又点在椭圆上，所以，即．…………1

又，所以，．…………2

2代入1整理得，解得（舍），或．

所以，．

于是，所求的椭圆的标准方程为．………………4分

（2）由题可知，．

于是，由，则，

（I）当直线的斜率不存在时，

容易求得，，

所以，

所以，此时．……………………5分

（II）当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为．3

设点，将3代入消去得：

．

由解得．

，…………4

，……………5…………………………………………7分

又，所以，所以有

，…………………6

将6代入4得，…………7

将6代入5得，………………8

联立78，消去得，

所以，，化简得，

因为，，所以，

所以，且．………………9分

设，则在上为减函数，又，

所以．（此处也可以通过解一元二次不等式求出的取值范围）

综合（I）、（II）可得，的取值范围是．…………10分