Question

田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c. 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜.

   （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；

  （2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马. 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？

Answer

 记A与a比赛为（A，a），其它同理．

（l）（方法1）齐王与田忌赛马，有如下6种情况：

（A，a）,（B，b）,（C，c）；（A，a）,（B，c）,（C，b）；

（A，b）,（B，c）,（C，a）；（A，b）,（B，a）,（C，c）；

（A，c）,（B，a）,（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）.  ……………2分

其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）.   ……………………4分

故田忌获胜的概率为.      …………………………………7分

（方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能：

A   B   C

a   b   c

a   c   b

b   a   c

b   c   a

c   a   b

c   b   a       ……………………………………………………………2分

其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）.      ………………4分

若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可以获胜．

故田忌获胜的概率为．  ……………………………………7分

（2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c．……9分

后两场有两种情形：

①若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）,（C，b）或（B，b）,（C，a）．

田忌获胜的概率为.     ……………………………………………………11分

②若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）,（B，b）或（C，b）,（B，a）．

田忌获胜的概率也为．   ……………………………………………………13分

所以，田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大…14分

答：（l）田忌获胜的概率．

（2）田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为……15分