Question

设数列{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．

（1）证明；

    （2）设记数列的前n项和为T_n，试比较q²S_n和T_n的大小.

Answer

（1）由题设知a1>0，q>0．      ………………………………………1分

 (i)当q=1时，Sn=na1，于是 Sn·Sn+2－=na1·(n+2)a1－(n+1)2=－<0， …3分

 (ii)当q≠1时，， 

于是Sn·Sn+2－=．    …………7分

由(i)和(ii)，得Sn·Sn+2－<0．所以Sn·Sn+2<，． ……………8分

(2) 方法一：     …………11分

 Tn=，

Tn－q2Sn=，    …………………………………13分

＝≥2>0，    …………………………………15分

所以Tn>q2S．       …………………………………………………………16分

方法二：Tn=， ………11分

由，      …………………………………………………13分

因为，所以（当且仅当，即时取“=”号），

因为，

所以，即Tn>q2S.        ……………………………16分