Question

 （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4－1：几何证明选讲

如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，

过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交

于点.

    求证：.

B. 选修4－2：矩阵与变换

求矩阵的特征值及对应的特征向量.

C. 选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．

   （1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

   （2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.

D．选修4－5：不等式选讲

    设均为正数，且，求证

Answer

A. 选修4－1：几何证明选讲

【证明】连结OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

所以∠OFC+∠CFD=90°．

因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．         

因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．  ………………………5分

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．

因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．所以DE2=DB·DA．  ……………10分

B. 选修4－2：矩阵与变换

【解】特征多项式，  …………3分

由，解得.    ………………………………………6分

将代入特征方程组，得.

可取为属于特征值1=1的一个特征向量． …………………………8分

将代入特征方程组, 得.

可取为属于特征值的一个特征向量．    

综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，

属于 的一个特征向量为 ．   ………………………………10分

C. 选修4－4：坐标系与参数方程

【解】（1）曲线的极坐标方程可化为.      ……………………2分

又,

所以曲线的直角坐标方程为.      ………………………4分

   （2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得.…………………6分

    令,得,即点的坐标为(2,0).

    又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，则. ­­…………8分

 所以．   ………………………………10分

D．选修4－5：不等式选讲

【证明】因为，

当且仅当时等号成立．

     又因为，

所以        ……………10分