Question

已知函数．

（Ⅰ）若有两个不同的解，求的值；

（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求在上的最大值.

Answer

 【解析】
（Ⅰ）方程，即，变形得，

显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程

“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1” ……3分

结合图形，得或……………………………………………………5分

（Ⅱ）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，

①当x=1时，（*）显然成立，此时 ……………………………………6分

②当x≠1时，（*）可变形为，令，

因为当x>1时，；而当x<1时，.

所以，故此时……………………………………………9分

综合①②，得所求的取值范围是 ……………………………10分

（Ⅲ）因为=,

①  当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，

且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在[-2，2]上的最大值为…11分

②  当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，

在，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，

经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为……………………12分

③  当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，

在，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，

经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为………………………13分

④  当时，结合图形可知h(x)在，上递减，

在，上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，

经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为………………………14分

⑤  当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，

故此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为h(1)=0………………………………15分

综上所述，当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；

当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；

当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为0…………………………………16分