Question

 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3．

   （1）求a、b的值；

   （2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1991对于x∈[－1，4]恒成立；

   （3）令．是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？

Answer

 【解析】
（1）=

依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3

，把B（1，b）代入得b=

∴a=－3，b=－1

   （2）令=3xx=0得x=0或x=2

∵f（0）=1，f（2）=×22＋1=－3

f（－1）=－3，f（4）=17

∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17

要使f（x）≤A－1991对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1991

∴A≥2008．

   （3）已知g（x）=－

∴

∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，

①当t＞3时，t－3x2＞0，

∴g（x）在上为增函数，

g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）

②当0≤t≤3时,

令=0,得x=

列表如下:

x

（0, ）

＋

0

－

g（x）

↗

极大值

↘

g（x）在x=处取最大值－＋t=1

∴t==＜3

∴x=＜1

③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，

∴g（x）在无最大值.

∴存在一个t=，使g（x）在上有最大值1